Gevher Nesibe Medresesi ve Şifahiyesi ile birlikte Mimar Sinan Parkı içerisinde yer alan Avgunlu Medresesi’nin kitabesi bulunmadığı ve hakkında herhangi yazılı bir kaynak olmadığı için 13. yüzyılda inşa edildiği tahmin edilmektedir. “Avgun” veya “abgın” kelimeleri Kayseri çevresinde su kaynağı anlamına gelmektedir. Eskiden Kayseri’de yüksek seviyede olan yeraltı suyunun yapıya ait türbenin alt katında kaynak oluşturması sebebiyle medrese bu ismi almıştır. Medrese tek katlı, iki eyvanlı, revaklı avlulu, asimetrik bir plan arz eden, klasik Selçuklu özellikleri taşıyan bir yapıdır.

Türbe medrese ile birlikte düşünülmüş ve beraber inşa edilmiştir. Türbe iki katlı olup, medresenin damı üzerinde sekizgen gövde halinde yükselmekte ve piramidal bir külahla nihayetlenmektedir. Medresenin inşasını sağlayan zatın türbesi olarak düzenlendiği düşünülmektedir. Sanduka ihtiva etmemektedir. Kümbete ait herhangi bir kitabe mevcut değildir.